סטטיסטיקה לפסיכולוגים ב' – סיכום מלא למבחן
מבוא לסטטיסטיקה לפסיכולוגים ב', תשפ"ה · בנוי לפי חוברת התרגול – כל מושג שמופיע בקורס ובשאלות, ורק הוא.
כל פרק כולל: הסבר מושגים → נוסחאות → דוגמה פתורה → טעויות נפוצות → שאלות לתרגול עצמי.
🔵 נוסחה🟢 דוגמה פתורה🟠 טיפ למבחן🔴 טעות נפוצה🟣 תרגול עצמי
⓪ מפת מושגי יסוד – חוט השני של הקורס
▾כל הקורס הוא וריאציה אחת גדולה על אותו רעיון: לקחת מדגם, לחשב עליו סטטיסטי, ולהכריע מה הוא מלמד על האוכלוסייה. הטבלה הבאה היא "מילון העבודה" שילווה אותך בכל הפרקים.
| מושג | הגדרה תמציתית |
|---|---|
| אוכלוסייה | כלל היחידות שעליהן רוצים להסיק. מאופיינת בפרמטרים (μ – תוחלת, σ – ס"ת). |
| מדגם | תת-קבוצה שנדגמה מקרית. מאופיין בסטטיסטיים (X̄ – ממוצע, S – ס"ת). |
| הסקה סטטיסטית | מבוססת על המדגם, ומתייחסת לאוכלוסייה. תמיד טנטטיבית (זמנית). |
| אומדן (אומד) | סטטיסטי המשמש לאמוד פרמטר מקביל באוכלוסייה (X̄ אומד את μ). |
| אומדן בלתי-מוטה | אומדן שתוחלתו (ממוצעו על פני כל המדגמים) שווה לפרמטר. X̄ והשונות המתוקנת Ŝ² בלתי-מוטים. |
| השערת האפס H₀ | תמיד מניחה שוויון / היעדר אפקט באוכלוסייה. נקודת המוצא שאותה מנסים לדחות. |
| השערת המחקר H₁ | טוענת לקיום אפקט (הבדל/קשר/חריגות) באוכלוסייה. שתי ההשערות מתייחסות לאוכלוסייה. |
🟠 עיקרון-העל של הקורס
בכל מבחן אנו מחשבים סטטיסטי מחושב (Z/t/F) ומשווים אותו לערך קריטי מהטבלה. אם המחושב קיצוני יותר (גדול בערך מוחלט) מהקריטי → דוחים את H₀ ומקבלים תמיכה ל-H₁. זה הכול. כל פרק רק מחליף את הנוסחה לסטטיסטי המחושב ואת הטבלה.
⚠️ הטעויות הנפוצות ביותר במבחן – לעבור לפני שנכנסים
▾למה זה כאן רוב הנקודות במבחן נופלות על אותן מלכודות חוזרות. אם תזכור רק את הרשימה הזו — חסכת לעצמך טעויות יקרות. כל שורה: ❌ מה טועים ← ✔️ הנכון.
א. הסקה ומסקנות – לזהות את התשובה השגויה
- ❌ מסיח שכתוב בו "הוכיח" / "בוודאות" ← ✔️ כמעט תמיד שגוי — בהסקה רק "תומך/מבסס"המלכודת הקלאסית: "המחקר הוכיח ש...". אין הוכחות בסטטיסטיקה.
- ❌ מסיח שמסיק על המדגם ← ✔️ המסקנה תמיד על האוכלוסייהדוגמים מדגם, אך מסיקים על האוכלוסייה שממנה נדגם.
- ❌ מסיח שבו H₁ = "אין הבדל" ← ✔️ H₁ תמיד טוענת לקיום אפקט"אין הבדל" זו בדיוק H₀. בחר מסיח שטוען להבדל/קשר.
- ❌ "לא דחינו H₀ ⇒ H₀ נכונה / אין אפקט" ← ✔️ אי-דחייה = רק p > αייתכן שמחקר חוזר כן ידחה. לא מקבלים ולא מוכיחים את H₀.
- ❌ מסיח: "H₀ על המדגם, H₁ על האוכלוסייה" ← ✔️ שתיהן מתייחסות לאוכלוסייה
ב. אלפא, p-value ומובהקות
- ❌ "α קטנה = קל לדחות" ← ✔️ α קטנה = מחמיר = קשה לדחותα=0.01 מחמיר מ-0.05. דחית ב-0.01 ⇒ בוודאי תדחה ב-0.05 (לא להפך).
- ❌ "p-value מחושב לפי H₁" ← ✔️ p-value מחושב לפי H₀זו ההסתברות לקבל את ממוצע המדגם (או קיצוני ממנו) בהתפלגות לפי H₀.
- ❌ "p-value יכול להיות 0" ← ✔️ לעולם לא בדיוק 0
ג. התפלגות הדגימה
- ❌ שימוש ב-σ/√n לשאלה על פרט בודד ← ✔️ פרט בודד → σ ; ממוצע מדגם → σ/√nהמלכודת הקלאסית של "אחוז האנשים" מול "הסתברות הממוצע".
- ❌ "ממוצע המדגם = ממוצע האוכלוסייה" ← ✔️ רק ממוצע כל הממוצעים = μמדגם בודד כמעט תמיד שונה במקצת מ-μ.
- ❌ "n גדול → טעות תקן גדולה" ← ✔️ n גדול → טעות תקן קטנה → התפלגות צרה
- ❌ "n=1 → טעות תקן 0" ו-"n=אוכלוסייה → מקסימום" ← ✔️ הפוך: n=1 → טעות תקן=σ ; n=אוכלוסייה → טעות תקן=0
- ❌ "התפלגות הדגימה תמיד נורמלית מ-n≥30" ← ✔️ גם אוכלוסייה נורמלית נותנת התפלגות דגימה נורמלית בכל n
ד. בחירה בין Z ל-t
- ❌ בחירת המבחן לפי גודל המדגם ← ✔️ Z אם σ ידועה, t אם σ לא ידועהזה הקריטריון היחיד שמבחין ביניהם.
- ❌ הצבת שונות המדגם במבחן Z ← ✔️ ב-Z מציבים את σ של האוכלוסייה
- ❌ "הגדלת n מגדילה את הערך הקריטי" ← ✔️ n מגדיל את הסטטיסטי המחושב; הקריטי של Z לא משתנה, של t קטן
- ❌ "t ו-Z אותו ערך קריטי" ← ✔️ t מחמיר מ-Z כש-n<120; שווים מ-120
- ❌ חישוב מיותר כשהמדגם בכיוון ההפוך מ-H₁ ← ✔️ כיוון הפוך → לא דוחים, בלי חישוב
ה. חד-זנבי / דו-זנבי
- ❌ "דו-זנבי מקל" ← ✔️ דו-זנבי מחמיר (α מתחלקת לשני זנבות)
- ❌ שימוש ב-±1.96 בהשערה חד-זנבית ← ✔️ חד-זנבי 5% = 1.645 ; דו-זנבי 5% = ±1.96
ו. טעויות הסקה, עוצמה וגודל אפקט
- ❌ בלבול: טעות I מול טעות II ← ✔️ I = דחינו אפקט שלא קיים (α) · II = פספסנו אפקט שקיים (β)
- ❌ "תוצאה מובהקת ⇒ אפקט גדול" ← ✔️ מובהקות ≠ גודל אפקטייתכן אפקט חלש-ומובהק, וגם חזק-ולא-מובהק.
- ❌ "גודל אפקט גדל עם n" ← ✔️ גודל אפקט לא תלוי ב-n (העוצמה כן)
- ❌ "רמת ביטחון גבוהה → עוצמה גבוהה" ← ✔️ רמת ביטחון ↑ (α↓) → עוצמה ↓
ז. רווח סמך
- ❌ "ממוצע המדגם משפיע על רוחב הרווח" ← ✔️ הממוצע קובע רק מיקום, לא רוחבהרוחב תלוי ב-σ, n ורמת הביטחון בלבד.
- ❌ "רמת ביטחון גבוהה → רווח צר" ← ✔️ ביטחון ↑ → רווח רחב יותר
ח. שני מדגמים (תלויים/בלתי-תלויים)
- ❌ בחירת t תלויים רק כי יש זוגות בנתונים ← ✔️ בוחרים לפי שאלת המחקר וההשערה"הבדל בין גברים לנשים" = בלתי-תלויים, גם אם חלקם נשואים.
- ❌ "df בתלויים = 2n−1" ← ✔️ תלויים df=n−1 (n=זוגות) · בלתי-תלויים df=n₁+n₂−2
- ❌ "הפרש בין מדגמים = עוצמה/טעות" ← ✔️ הפרש בין מדגמים = גודל אפקט
ט. ניתוח שונות (ANOVA)
- ❌ "F מובהק ⇒ כל הקבוצות נבדלות" ← ✔️ מובהק ⇒ לפחות זוג אחד נבדל
- ❌ בדיקת F קריטי כש-F≤1 ← ✔️ F≤1 (MSB≤MSW) → בטוח לא דוחים
- ❌ הסקה מ-MSB לבד ← ✔️ צריך את היחס MSB/MSW — אף אחד לבד לא אומר כלום
- ❌ בלבול ב-df ← ✔️ DFB=k−1 (מונה) · DFW=N−k (מכנה)
- ❌ "הכפלת כל הערכים בקבוע תשנה את F" ← ✔️ טרנספורמציה לינארית לא משנה את F
1. מבוא להסקה סטטיסטית ובחינת השערות
▾שורה תחתונה H₀ תמיד "אין הבדל", H₁ תמיד "יש אפקט" — ושתיהן על האוכלוסייה. דוחים רק את H₀, ואז תומכים ב-H₁ (לא "מוכיחים"). α קטנה = מחמיר. p<α → דוחים.
השערות: מי מתייחס למי?
- H₀ (אפס) – תמיד מניחה שוויון, לעולם לא הבדל. מתארת את "המצב הרגיל" בהיעדר תופעה חריגה (כמו מטבע הוגן עם 0.5 לכל צד).
- H₁ (מחקר) – טוענת לאפקט, אך אינה ספציפית: היא אומרת ש-μ שונה/גדול/קטן מערך מסוים, אך לא מציינת מהו הערך החדש.
- לכן אפשר רק לדחות את H₀ – ודרך הדחייה לקבל תמיכה ב-H₁. לעולם לא "מקבלים" או "מוכיחים" השערה.
אלפא (α) ורמת מובהקות
α הוא ערך הסף לדחיית H₀ וגם ההסתברות לטעות מסוג ראשון (דחייה שגויה של H₀ נכונה). שני קריטריונים מקובלים:
α = 0.05– קריטריון מקל: המדגם צריך להיות ב-5% הקיצוניים.α = 0.01– קריטריון מחמיר: המדגם צריך להיות ב-1% הקיצוניים.
🟠 כלל "קל וחומר"
ככל ש-α קטנה יותר → קשה יותר לדחות את H₀. אם דחית את H₀ ב-α=0.01, בוודאות תדחה גם ב-α=0.05 (אך לא להפך). 1% הקיצוניים כלולים תמיד בתוך 5% הקיצוניים.
p-value (מובהקות התוצאה / "אלפא מינימלית")
ה-p-value הוא ההסתברות לקבל את ממוצע המדגם (או קיצוני ממנו) בהתפלגות הדגימה לפי H₀ – השטח שמתחת לעקומה מממוצע המדגם ועד קצה הזנב. זוהי ה-α המינימלית שעדיין מאפשרת דחייה.
🔵 כלל ההכרעה
אם p < α → דוחים את H₀. אם p ≥ α → לא דוחים. ערך ה-p מחושב תמיד ביחס לממוצע התפלגות הדגימה לפי H₀ (ולא לפי H₁!), ולעולם אינו 0 בדיוק.
🔴 מסיחים מטעים (איך לפסול תשובה)
- מסיח שכתוב בו "הוכיח" או "בוודאות" → כמעט תמיד שגוי. בהסקה רק תומכים/מבססים.
- מסיח שמסיק על המדגם → שגוי. המסקנה תמיד על האוכלוסייה.
- מסיח ש"אי-דחיית H₀ מוכיחה ש-H₀ נכונה" → שגוי. משמעו רק p-value > α.
🟣 תרגול 1.1
ככל שאלפא קטנה יותר, מה קורה לקריטריון לדחיית H₀? וכיצד זה משפיע על הקושי לדחות?
הקריטריון מחמיר יותר – אזור הדחייה (הזנבות) קטן, ולכן קשה יותר לדחות את H₀ ודרושה תוצאה קיצונית יותר. α מייצגת גם את ההסתברות לטעות מסוג ראשון.
🟣 תרגול 1.2
סטודנטית ניסחה השערת מחקר: "לא קיים הבדל ברמת האינטליגנציה של גברים ונשים". מה הבעיה?
ההשערה שגויה ועליה להחליפה. השערת מחקר (H₁) חייבת לטעון לקיום אפקט. "אין הבדל" הוא בדיוק ניסוח של H₀, לא של השערת מחקר.
1.2 מאפייני התפלגות הדגימה
▾שורה תחתונה טעות תקן = σ/√n. מדגם גדול → התפלגות צרה וגבוהה. n≥30 → נורמלית (משפט הגבול המרכזי), גם אם האוכלוסייה לא. ממוצע התפלגות הדגימה = μ.
התפלגות הדגימה של הממוצע = התפלגות תיאורטית של כל ממוצעי המדגמים האפשריים בגודל n מהאוכלוסייה. היא הבסיס לכל ההסקה.
שלוש תכונות שחובה לזכור
- הממוצע: ממוצע התפלגות הדגימה = ממוצע האוכלוסייה (μ). זה נובע מכך ש-X̄ הוא אומדן בלתי-מוטה.
- הפיזור – טעות התקן: קטנה מס"ת האוכלוסייה (כי מחלקים ב-√n).
- הצורה: נורמלית אם האוכלוסייה נורמלית (לכל n), או לפי משפט הגבול המרכזי כאשר n≥30.
🔵 טעות התקן (Standard Error)
e = σX̄ = σ / √n
⬅️ ככל ש-n גדל → טעות התקן קטנה → ההתפלגות צרה וגבוהה. ככל ש-σ גדול → טעות התקן גדולה → ההתפלגות רחבה (הטרוגנית).
🔵 משפט הגבול המרכזי (CLT)
אם n ≥ 30, התפלגות הדגימה של הממוצע תהיה נורמלית בקירוב – גם אם האוכלוסייה אינה נורמלית. אם האוכלוסייה כבר נורמלית, התפלגות הדגימה נורמלית לכל גודל מדגם.
מקרי קצה
- n = 1 → התפלגות הדגימה משחזרת את האוכלוסייה במדויק; טעות התקן = σ האוכלוסייה.
- n = כל האוכלוסייה → קיים מדגם אפשרי אחד בלבד → טעות התקן = 0.
- אוכלוסייה ללא פיזור (כולם זהים) → σ=0, וגם טעות התקן = 0.
ציון תקן (Z): יחיד מול ממוצע מדגם
🔵 שתי נוסחאות שונות!
ליחיד בודד באוכלוסייה: Z = (X − μ) / σ
לממוצע מדגם בהתפלגות הדגימה: Z = (X̄ − μ) / (σ/√n)
לממוצע מדגם בהתפלגות הדגימה: Z = (X̄ − μ) / (σ/√n)
🟢 דוגמה פתורה – לחץ דם
לחץ הדם מתפלג נורמלית, μ=130, σ=10.
▪ מדגם n=144: טעות תקן = 10/√144 = 10/12 = 0.83. הממוצע נשאר 130.
▪ מדגם n=49: טעות תקן = 10/√49 = 10/7 = 1.43 (גדולה יותר – מדגם קטן יותר).
▪ ההסתברות שממוצע מדגם בן 225 יהיה 133+: Z = (133−130)/(10/√225) = 3/(10/15) = 3/0.667 = 4.5 → הסתברות כמעט 0 (קצה ימני קיצוני).
▪ אחוז האנשים (לא ממוצעים!) עם לחץ דם 133+: Z = (133−130)/10 = 0.3 → שטח מעל = 1−0.6179 = 38.21%.
🔴 טעויות נפוצות
- שאלה על פרט בודד → משתמשים ב-σ (לא בטעות תקן). שאלה על ממוצע מדגם → משתמשים בטעות תקן σ/√n.
- ממוצע המדגם הבודד לא בהכרח שווה ל-μ. רק ממוצע כל הממוצעים שווה ל-μ.
- ס"ת של מדגם בודד אינה בהכרח שווה לס"ת האוכלוסייה – הסטטיסטי משתנה ממדגם למדגם.
🟣 תרגול 1.2-א נכון/לא נכון
"ככל שהמדגם גדול יותר, התפלגות הדגימה צרה יותר."
נכון. n גדל → טעות התקן (σ/√n) קטנה → התפלגות הומוגנית וצרה יותר.
🟣 תרגול 1.2-ב נכון/לא נכון
"כאשר המדגם קטן מ-30, התפלגות הדגימה לעולם לא תהיה נורמלית."
לא נכון. אם האוכלוסייה המקורית נורמלית, התפלגות הדגימה נורמלית גם ב-n קטן מ-30. תנאי ה-n≥30 נדרש רק כשהאוכלוסייה אינה נורמלית (CLT).
🟣 תרגול 1.2-ג
נתונה אוכלוסייה שכולם בגובה 1.76 בדיוק, מדגמים בגודל 25. מה מאפייני התפלגות הדגימה?
הממוצע = 1.76 והשונות = 0. מאחר שאין פיזור באוכלוסייה (σ=0), טעות התקן = 0/√25 = 0, ואין "טעות דגימה".
1.3 מבחן Z לאומדן ממוצע באוכלוסייה אחת
▾שורה תחתונה משתמשים ב-Z כש-σ ידועה. Z = (X̄−μ₀)/(σ/√n). דוחים את H₀ אם |Z מחושב| > |Z קריטי| (5%: 1.645 חד / ±1.96 דו).
משווים ממוצע של מדגם בודד לממוצע האוכלוסייה הידוע, כדי לבדוק אם המדגם חריג.
🔵 הנחות + נוסחה
מתי Z? כאשר שונות האוכלוסייה ידועה, ובנוסף: האוכלוסייה נורמלית או n≥30 (כדי שהתפלגות הדגימה תהיה נורמלית).
Zמחושב = (X̄ − μ₀) / (σ/√n) משווים ל-Z קריטי ודוחים את H₀ אם |Z מחושב| > |Z קריטי|.
Zמחושב = (X̄ − μ₀) / (σ/√n) משווים ל-Z קריטי ודוחים את H₀ אם |Z מחושב| > |Z קריטי|.
| α (מובהקות) | חד-זנבי (ימני/שמאלי) | דו-זנבי |
|---|---|---|
| 5% (0.05) | 1.645 (≈1.65) | ±1.96 |
| 1% (0.01) | 2.33 | ±2.58 |
🟠 חד-זנבי מול דו-זנבי
בדו-זנבי α מתחלקת לשני קצוות (α/2 בכל זנב), ולכן הערך הקריטי גדול יותר (מחמיר) – צריך תוצאה קיצונית יותר. כיוון ההשערה קובע היכן אזור הדחייה: השערה "גבוה מ-" → זנב ימני; "נמוך מ-" → זנב שמאלי; "שונה מ-" → שני הזנבות.
🟢 דוגמה פתורה – שיטת לימוד באנגלית
ציונים: μ=68, σ=18. מדגם n=36, X̄=74.5. בודקים "שיפור" (חד-זנבי ימני).
השערות: H₀: μ≤68 ; H₁: μ>68
Z מחושב = (74.5−68)/(18/√36) = 6.5/3 = 2.17
ב-α=0.01: Z קריטי = 2.33. כיוון ש-2.17 < 2.33 → לא דוחים את H₀.
ב-α=0.05: Z קריטי = 1.65. כיוון ש-2.17 > 1.65 → דוחים את H₀, תמיכה בשיפור.
ה-α המינימלית (=p-value): השטח מעל Z=2.17 הוא 1−0.9850 = 0.015 (1.5%). לכן לא ניתן היה לדחות ב-1%.
🟢 דוגמה פתורה – מציאת n מינימלי
IQ: μ=100, σ=16. מורה טוען שלתלמידיו IQ גבוה יותר, X̄=101, חד-זנבי ימני, α=0.05 (Z קריטי=1.65). מהו n המינימלי שיאפשר דחייה?
מציבים בנוסחת Z עם n כמשתנה: 1.65 = (101−100)/(16/√n) → 1.65 = √n/16 → √n = 26.4 → n ≈ 696.96 → מעגלים כלפי מעלה ל-n = 700.
🔴 טעויות נפוצות
- במבחן Z מציבים את σ של האוכלוסייה – שונות המדגם לא רלוונטית ואינה משפיעה על ה-p-value.
- הגדלת n מגדילה את Z המחושב (כי n במכנה תחת שורש), אך אינה משנה את Z הקריטי.
- הסטטיסטי המחושב הוא מדד מיקום יחסי של המדגם בהתפלגות – לא ערך קריטי ולא מדד מרכז.
🟣 תרגול 1.3
ככל ש-Z המחושב גדל (בערך מוחלט), מה קורה ל-p-value?
p-value קטן. ככל ש-Z גדול וקיצוני יותר, השטח שנותר עד קצה ההתפלגות קטן יותר → קל יותר לדחות את H₀.
2. מבחן t למדגם יחיד (אומדן השונות באוכלוסייה)
▾שורה תחתונה משתמשים ב-t כש-σ לא ידועה (אומדים ב-Ŝ). df = n−1. t מחמיר מ-Z כשהמדגם קטן מ-120, ושווה לו מ-120 ומעלה.
זהה במהותו ל-Z, אך משמש כאשר שונות האוכלוסייה אינה ידועה – ואז אומדים אותה מהמדגם.
🔵 הנחה, נוסחה, דרגות חופש
מתי t? כאשר σ של האוכלוסייה אינה ידועה (ההבדל היחיד מ-Z!). אומדים אותה בעזרת שונות מתוקנת Ŝ² – אומדן בלתי-מוטה.
tמחושב = (X̄ − μ₀) / (Ŝ/√n) df = n − 1 את הערך הקריטי מחפשים בטבלת t לפי df ולפי כיוון ההשערה.
tמחושב = (X̄ − μ₀) / (Ŝ/√n) df = n − 1 את הערך הקריטי מחפשים בטבלת t לפי df ולפי כיוון ההשערה.
התפלגות t מול התפלגות Z
- t היא משפחה של התפלגויות סימטריות וכיפתיות (אחת לכל df), בעוד Z יחידה.
- t נמוכה ורחבה יותר מ-Z, עם יותר מקרים בזנבות → הערכים הקריטיים שלה מחמירים יותר (גדולים יותר) מ-Z.
- ככל ש-df גדל, t מתקרבת ל-Z. ב-n≥120 אין הבדל מעשי בין הערכים הקריטיים.
🟠 למה t מחמירה?
ב-t אומדים גם את הממוצע וגם את השונות. אומדן השונות עלול להוביל לריבוי טעויות מסוג ראשון, ולכן "מענישים" עם ערך קריטי מחמיר יותר, כדי לשמור על רמת ה-α שקבע החוקר. לכן: לאותם נתונים, ל-Z סיכוי גדול יותר לדחות מ-t (כש-n<120).
🟢 דוגמה פתורה – אריזת גפרורים (דו-זנבי)
μ=100, מדגם n=29, X̄=115, Ŝ=14. בודקים אם המכונה החדשה אורזת כמות שונה (דו-זנבי), α=0.05.
H₀: μ=100 ; H₁: μ≠100, df=29−1=28
t מחושב = (115−100)/(14/√29) = 15/2.6 = 5.77
t קריטי (df=28, דו-זנבי, α/2=0.025) = ±2.048. כיוון ש-5.77 > 2.048 → דוחים את H₀.
🟢 דוגמה פתורה – כיוון "הפוך" (פתרון ללא חישוב מלא)
צריכת מים: μ=30, אב בית טוען שסטודנטים מבזבזים יותר (חד-זנבי ימני). מדגם X̄=28.2.
ממוצע המדגם נמוך מ-μ – כלומר בכיוון ההפוך מ-H₁. t מחושב יוצא שלילי (−2.4) ולכן בוודאי לא דוחים את H₀ – אפשר להסיק זאת עוד לפני החישוב.
🔴 טעות / טיפ קריטי
"דחיתי ב-0.01 → דחה גם ב-0.05" (כי 0.05 מקלה). "לא דחיתי ב-0.05 → בוודאי לא אדחה ב-0.01" (כי 0.01 מחמירה). חוסך חישוב בסעיפים ב'!
🟣 תרגול 2.1
חוקר א' עשה מבחן Z וחוקר ב' מבחן t, אותם נתונים, n=25, אותה α. אם σ האוכלוסייה = האומדן הבלתי-מוטה במדגם – למי סיכוי גבוה יותר לדחות את H₀?
חוקר א' (Z). מאחר ש-n=25<120, הערך הקריטי של t (1.711 ל-df=24) גדול ומחמיר יותר מזה של Z (1.65). הסטטיסטי המחושב זהה אצל שניהם, ולכן ל-Z קל יותר לחצות את הערך הקריטי.
🟣 תרגול 2.2 נכון/לא נכון
"במבחן t, ככל שגדל מספר הנבדקים (n<120), הערך הקריטי קטן."
נכון. יותר df → t מתקרבת לנורמלית → הערך הקריטי קטן (פחות מחמיר). מעל 120 הערך מתייצב ושווה ל-Z.
3.1 טעויות הסקה מסוג ראשון ושני
▾שורה תחתונה טעות I (α) = דחינו אפקט שלא קיים. טעות II (β) = פספסנו אפקט שקיים. ביניהן יחס הפוך: מקטינים את α → β גדלה.
🔵 ההגדרות
- טעות מסוג ראשון (α): דחיית H₀ בטעות – כשהיא נכונה במציאות ("זיהינו אפקט שלא קיים"). דוגמה: בדיקת היריון חיובית כשאין היריון.
- טעות מסוג שני (β): אי-דחיית H₀ – כש-H₁ נכונה במציאות ("פספסנו אפקט שקיים").
| ההחלטה ↓ \ במציאות → | H₀ נכונה | H₀ שגויה (H₁ נכונה) |
|---|---|---|
| דוחים את H₀ | טעות מסוג ראשון (α) | עוצמת המבחן (1−β) ✔️ |
| לא דוחים את H₀ | רמת ביטחון (1−α) ✔️ | טעות מסוג שני (β) |
🟠 איך עונים על שאלות "המצבים האפשריים"
קוראים את השורה או העמודה מהטבלה:
• "כש-H₀ נכונה" → טעות I או רמת ביטחון.
• "כשדוחים H₀" → טעות I או עוצמה.
• "כש-H₀ שגויה" → טעות II או עוצמה.
• "כשלא דוחים H₀" → טעות II או רמת ביטחון.
• "כש-H₀ נכונה" → טעות I או רמת ביטחון.
• "כשדוחים H₀" → טעות I או עוצמה.
• "כש-H₀ שגויה" → טעות II או עוצמה.
• "כשלא דוחים H₀" → טעות II או רמת ביטחון.
הקשר ההפוך α ↔ β
קיים יחס הפוך: ככל שמקטינים את α (מחמירים, מעלים רמת ביטחון) → β גדלה והעוצמה קטנה. ולהפך: הגדלת α מקטינה את β. גורמים המשפיעים על β: רמת הביטחון (α), σ האוכלוסייה, וגודל המדגם.
🔴 טעות נפוצה
שימוש שגוי בטבלת Z במקום t (כש-n<120) → ערך קריטי מקל מדי → סיכוי גבוה יותר לטעות מסוג ראשון, ונמוך יותר לטעות מסוג שני, מהמתוכנן.
🟣 תרגול 3.1
פסיכולוג לא מצא הבדל מובהק בין שני טיפולים, אך ידוע שבמציאות קיים הבדל. איזו טעות?
טעות מסוג שני (β). לא דחה את H₀ למרות שבמציאות יש אפקט – כלומר "פספס" אותו.
3.2 עוצמת המבחן וגודל האפקט
▾שורה תחתונה עוצמה = 1−β: גדלה עם n, קטנה עם רמת ביטחון ועם σ. גודל אפקט (d של כהן) לא תלוי ב-n, ואינו אותו דבר כמו מובהקות.
🔵 עוצמת המבחן
עוצמה = 1 − β
ההסתברות לדחות את H₀ כאשר H₁ נכונה במציאות (לזהות אפקט קיים, ולצדוק בדחייה).
גורמים המשפיעים על העוצמה
| אם... | העוצמה (1−β) | מדוע |
|---|---|---|
| n גדל ↑ | גדלה ↑ | טעות התקן קטנה → קל יותר לזהות חריגים |
| רמת ביטחון גדלה ↑ (α קטנה) | קטנה ↓ | נשמרים מטעות I אך "משלמים" בטעות II |
| σ האוכלוסייה גדל ↑ | קטנה ↓ | פיזור גדול → קשה לזהות אפקט |
גודל האפקט (Cohen's d)
מודד את עוצמת התופעה – המידה שבה קיים הבדל משמעותי בין הממוצעים.
🟠 העיקרון הכי נבחן בפרק
גודל האפקט אינו מושפע מגודל המדגם (בניגוד לעוצמה). וכן: מובהקות ≠ גודל אפקט. ייתכן אפקט חלש אך מובהק (תרופה שמורידה 2% סימפטומים במדגם ענק), וייתכן אפקט חזק שאינו מובהק (תרופה שמורידה 10% אך במדגם קטן מדי). אי אפשר לנבא גודל אפקט מתוך מובהקות, ולהפך.
אם גודל האפקט גדול – ניתן לזהות אותו גם במדגמים קטנים.
🟣 תרגול 3.2
דנה מצאה אפקט מובהק ברמת ביטחון 99%. מה גודל האפקט?
לא ניתן לדעת בוודאות. מובהקות אינה מגלה את גודל האפקט – הם בלתי תלויים.
4.1 רווח סמך לאומדן ממוצע – רב"ס Z
▾שורה תחתונה X̄ ± Zα/2·(σ/√n). מדגם גדול → רווח צר; רמת ביטחון גבוהה → רווח רחב; הממוצע לא משפיע על הרוחב. רווח שלא מכיל את μ₀ → דוחים את H₀.
במקום אומדן נקודתי (X̄), בונים טווח שבתוכו צפוי להימצא ממוצע האוכלוסייה, ברמת ביטחון נתונה.
🔵 נוסחאות (σ ידועה)
CI: X̄ ± Zα/2 · (σ/√n)
אורך הרווח: L = 2 · Zα/2 · (σ/√n) | הסטייה המרבית (חצי רווח) = L/2
מציאת n מתוך אורך רצוי L: n ≥ ( 2 · Zα/2 · σ / L )²
מציאת n מתוך אורך רצוי L: n ≥ ( 2 · Zα/2 · σ / L )²
מה משפיע על רוחב הרווח?
| גורם | השפעה על הרוחב |
|---|---|
| רמת ביטחון ↑ (1−α גדלה) | הרווח גדל (כדי להבטיח לכידת μ) |
| גודל מדגם n ↑ | הרווח קטן (n במכנה תחת שורש) |
| שונות / σ ↑ | הרווח גדל |
| ממוצע המדגם X̄ | אינו משפיע על הרוחב (רק על המיקום!) |
🟢 דוגמה פתורה – לחץ דם קשישים
n=225, X̄=148, σ=20, רמת ביטחון 95% (Zα/2=1.96).
רווח = 148 ± 1.96·(20/√225) = 148 ± 1.96·1.333 = 148 ± 2.613 → P{145.387 – 150.613}
הסטייה המרבית = 2.613.
אם נגדיל את n פי 4: n במכנה תחת שורש → הרווח יצטמצם פי √4 = 2.
🟢 דוגמה פתורה – מציאת n מתוך L
σ=30, רוצים לצמצם רווח ל-{198–204} (L=6), אותה רמת ביטחון (Z≈2):
n ≥ (2 · 2 · 30 / 6)² = (20)² = 400 נבדקים.
שימוש ברווח סמך לבחינת השערות
למדגם יחיד: אם הרווח אינו מכיל את μ₀ של H₀ → דוחים את H₀. להפרש ממוצעים (שני מדגמים): אם הרווח אינו מכיל את 0 → דוחים.
🟣 תרגול 4.1
חוקר רוצה להפוך רווח סמך לצר ומדויק יותר. כיצד יוכל?
הגדלת גודל המדגם ו/או שימוש ברמת ביטחון קטנה יותר. (שינוי הממוצע לא ישפיע על הרוחב.)
4.2 רווח סמך – מבחן t
▾שורה תחתונה בדיוק כמו רווח סמך Z — אבל עם Ŝ ועם ערך t (לפי df=n−1), כי σ של האוכלוסייה לא ידועה.
כאשר σ האוכלוסייה אינה ידועה, משתמשים בשונות המתוקנת Ŝ ובערך קריטי מטבלת t.
🔵 נוסחה (σ לא ידועה)
CI: X̄ ± tα/2 , df=n−1 · (Ŝ/√n)
שלבים: מחשבים X̄ ו-Ŝ מנתוני המדגם, שולפים t קריטי לפי df ורמת הביטחון, ומציבים.
🟠 הומוגניות והרוחב
ככל שהאוכלוסייה הומוגנית יותר (שונות קטנה) → הרווח קטן יותר. ערכים שליליים ברווח אפשריים לחלוטין (אם המשתנה יכול לקבל ערכים שליליים, או אם הגבול התחתון שלילי).
🟣 תרגול 4.2
מתי בוחרים רווח סמך t ולא Z?
כאשר σ של האוכלוסייה אינה ידועה ומשתמשים באומדן (Ŝ) מתוך נתוני המדגם – בדיוק כמו ההבדל בין מבחן t למבחן Z.
5.1 מבחן t לשני מדגמים בלתי-תלויים
▾שורה תחתונה 2 קבוצות נפרדות. df = n₁+n₂−2. משתמשים בשונות משוקללת (Ŝ²ₚ). רווח להפרש שלא כולל 0 → דוחים את H₀.
משווים ממוצעים של שתי קבוצות נפרדות (שתי אוכלוסיות), כדי לבדוק אם ההבדל ביניהן מובהק.
🔵 מתי, השערות, נוסחאות
מתי? משתנה בלתי-תלוי דיכוטומי/קטגוריאלי (שתי קבוצות), משתנה תלוי כמותי; הנתונים בשתי הקבוצות נאספו ללא תלות זה בזה.
H₀: μ₁ = μ₂ (ההפרש = 0) ; H₁: μ₁ ≠ μ₂ (או כיווני).
df = n₁ + n₂ − 2 שונות משוקללת (pooled): Ŝ²p = [ Ŝ₁²(n₁−1) + Ŝ₂²(n₂−1) ] / (n₁ + n₂ − 2) סטטיסטי המבחן: t = (X̄₁ − X̄₂) / √( Ŝ²p · (1/n₁ + 1/n₂) ) גודל אפקט (d של כהן): d = (X̄₁ − X̄₂) / √Ŝ²p
H₀: μ₁ = μ₂ (ההפרש = 0) ; H₁: μ₁ ≠ μ₂ (או כיווני).
df = n₁ + n₂ − 2 שונות משוקללת (pooled): Ŝ²p = [ Ŝ₁²(n₁−1) + Ŝ₂²(n₂−1) ] / (n₁ + n₂ − 2) סטטיסטי המבחן: t = (X̄₁ − X̄₂) / √( Ŝ²p · (1/n₁ + 1/n₂) ) גודל אפקט (d של כהן): d = (X̄₁ − X̄₂) / √Ŝ²p
🟢 דוגמה פתורה – שעות שינה (מעונות מול לא-מעונות)
n₁=n₂=9. קבוצה 1: X̄₁=7.56, Ŝ₁=1.33. קבוצה 2: X̄₂=6.33, Ŝ₂=0.87. דו-זנבי, α=5%.
df = 9+9−2 = 16, t קריטי = ±2.12
שונות משוקללת: Ŝ²p = [1.33²·8 + 0.87²·8]/16 = 1.26
t מחושב = (7.56−6.33)/√(1.26·(1/9+1/9)) = 1.23/0.529 = 2.33 > 2.12 → דוחים H₀
גודל אפקט: d = 1.23/√1.26 = 1.09 → אפקט גדול.
🔴 טעות נפוצה
ההפרש בין שני מדגמים מעיד על גודל אפקט (לא על עוצמה/טעות). הסטטיסטי הנבדק הוא הפרש הממוצעים (לא ממוצע יחיד). t מובהק = השונות בין הקבוצות (מונה) גדולה מהשונות בתוך הקבוצות (מכנה).
🟣 תרגול 5.1
רווח סמך להפרש הממוצעים יצא {2 עד 6}, וההשערה הייתה שקבוצה א' גדולה מ-ב'. האם דוחים H₀?
כן. שני הגבולות חיוביים → הרווח אינו מכיל את 0 (וכולו מימין לאפס, בכיוון ההשערה) → דוחים את H₀ ותומכים ב-H₁.
5.2 מבחן t לשני מדגמים תלויים (מזווגים)
▾שורה תחתונה זוגות / לפני-אחרי. עובדים על ההפרשים d. df = n−1 (n=מספר הזוגות). בוחרים את המבחן לפי שאלת המחקר — לא לפי קיום זוגות בנתונים.
משמש כאשר יש תלות/זיווג בין התצפיות: מדידות חוזרות על אותם נבדקים (לפני/אחרי), או זוגות (תאומים, בני-זוג, אחים).
🔵 נוסחאות ודרגות חופש
עובדים על ההפרשים d בין כל זוג. df = n − 1 (n = מספר הזוגות; n זוגות = 2n תצפיות).
כשנתונה ס"ת מתוקנת של ההפרשים: t = d̄ / (Ŝd / √n) מנתונים גולמיים: t = Σdᵢ / √( [ n·Σdᵢ² − (Σdᵢ)² ] / (n−1) )
כשנתונה ס"ת מתוקנת של ההפרשים: t = d̄ / (Ŝd / √n) מנתונים גולמיים: t = Σdᵢ / √( [ n·Σdᵢ² − (Σdᵢ)² ] / (n−1) )
🟠 למה t תלויים "חזק" יותר?
בזיווג, כל נבדק משמש כ"קבוצת הביקורת של עצמו" → ההבדלים האינדיבידואליים מנוכים → שונות הטעות (הלא-מוסברת) קטנה → טעות התקן (המכנה) קטנה → t מחושב גדל → סיכוי גבוה יותר לדחות את H₀ וטעות II קטנה (בתנאי מתאם חיובי בין הזוגות). שים לב: df קטנה יותר (n−1 במקום n₁+n₂−2), ולכן הערך הקריטי מעט מחמיר – אבל היתרון בשונות הקטנה גובר.
🔴 הטעות הקלאסית במבחן
בחירת המבחן נקבעת לפי שאלת המחקר וההשערה – לא לפי כך שבמקרה יש זוגות בנתונים! אם ההשערה אינה דורשת זיווג (למשל "הבדל בין גברים לנשים" כקבוצות), משתמשים ב-t בלתי-תלויים גם אם חלק מהנבדקים נשואים זה לזה. כמו כן, אם ההפרשים (או המדידות) אינם מתפלגים נורמלית – לא ניתן להשתמש במבחן t כלל.
🟢 דוגמה פתורה – טיפול בחרדת מבחנים (לפני/אחרי)
n=10 סטודנטים, מדידה לפני ואחרי טיפול. השערה: הטיפול משפר ציונים (חד-זנבי ימני), α=5%.
H₀: μ_d ≤ 0 ; H₁: μ_d > 0, df = 10−1 = 9, t קריטי = 1.833
מחשבים לכל נבדק d = (ציון אחרי − לפני), ואז d̄ ו-Ŝ_d. מציבים בנוסחה ומשווים ל-1.833.
כלל ההכרעה: דוחים את H₀ אם t מחושב > 1.833.
🟣 תרגול 5.2
במדגם מזווג n=40 זוגות. כמה תצפיות יש? וכמה דרגות חופש?
80 תצפיות (כל זוג = 2 תצפיות), אך df = 40 − 1 = 39 (n הוא מספר הזוגות).
6. ניתוח שונות חד-כיווני (One-Way ANOVA)
▾שורה תחתונה ≥3 קבוצות. F = MSB/MSW. F≤1 → לא דוחים (בלי טבלה). F>1 → בודקים מול F קריטי. מובהק → לפחות זוג אחד נבדל (לא כולם).
השוואת ממוצעים של שלוש קבוצות או יותר בו-זמנית, באמצעות יחס בין שני סוגי שונות.
🔵 מתי משתמשים?
משתנה בלתי-תלוי קטגוריאלי (שמי/סדר) עם ≥3 קבוצות, ומשתנה תלוי כמותי. השערה: "קיים הבדל בין הקבוצות". תוצאה מובהקת מעידה שלפחות זוג אחד של קבוצות נבדל – לא בהכרח כולן.
| מקור שונות | SS (סכום ריבועים) | DF | MS | F |
|---|---|---|---|---|
| Between (בין-קבוצתית / מוסברת) | SSB = Σ nⱼ(X̄ⱼ − X̿)² | k − 1 | MSB = SSB/DFB | F = MSB / MSW |
| Within (תוך-קבוצתית / טעות / לא-מוסברת) | SSW = Σ(Xᵢⱼ − X̄ⱼ)² | N − k | MSW = SSW/DFW | |
| Total | SST = SSB + SSW = Σ(Xᵢⱼ − X̿)² | N − 1 | — | — |
k = מספר הקבוצות · N = סך כל הנבדקים · X̄ⱼ = ממוצע קבוצה j · X̿ = הממוצע הכללי · nⱼ = גודל קבוצה j
🟠 האינטואיציה של F
F הוא יחס: כמה השונות בין הקבוצות (האפקט) גדולה מהשונות בתוך הקבוצות (רעש/טעות).
- F ≤ 1 (MSB ≤ MSW) → בטוח לא דוחים את H₀ (אין צורך אפילו בטבלה).
- F > 1 → בודקים מול F קריטי. דוחים רק אם F מחושב > F קריטי.
- F = 1 פירושו MSB = MSW בדיוק.
F(dfB, dfW) = value.
🟢 דוגמה פתורה – השלמת טבלת ANOVA
נתון: SSB=120, DFB=3 ; SSW=100, DFW=20.
MSB = 120/3 = 40 · MSW = 100/20 = 5
F = 40/5 = 8 · SST = 220 · DFT = 23 → דיווח: F(3,20)=8
🟢 דוגמה פתורה – חישוב SSB והכרעה
4 קבוצות, n=5 בכל אחת, ממוצעים: 35 ; 25.8 ; 18.6 ; 29.4 ; נתון MSW=78, α=5%.
ממוצע כללי X̿ = 27.2 (ממוצע 4 הממוצעים, כי הקבוצות שוות בגודל)
SSB = 5·(35−27.2)² + 5·(25.8−27.2)² + 5·(18.6−27.2)² + 5·(29.4−27.2)² = 708
DFB = 4−1 = 3 → MSB = 708/3 = 236 · DFW = 20−4 = 16
F = 236/78 = 3.02 · F קריטי(3,16) ב-5% = 3.24
3.02 < 3.24 → לא דוחים את H₀, לא נמצא הבדל מובהק.
שינויים במערך – מה קורה ל-F?
| הפעולה | התוצאה |
|---|---|
| הוספת נבדקים הזהים לממוצע קבוצתם | SSB ↑ (n גדל), DFB ללא שינוי → MSB↑ ; SSW ללא שינוי, DFW↑ → MSW↓ → F מחושב גדל, F קריטי קטן → קל יותר לדחות |
| טרנספורמציה לינארית (הכפלת כל הערכים בקבוע) | F לא משתנה (SSB ו-SSW משתנים באותה מידה, df לא משתנה) |
| אין שונות בין הקבוצות (ממוצעים זהים) | SSB=0 → F=0 → בטוח לא דוחים |
🟠 הקשר בין t ל-F
עבור שתי קבוצות בלבד, ANOVA ומבחן t לב"ת נותנים אותה מסקנה, ומתקיים F = t². (ל-≥3 קבוצות חייבים ANOVA – מתאם פירסון/ניבוי אינם רלוונטיים כאן.)
🟣 תרגול 6.1
נתון DFB=4 ו-DFW=40, מספר נבדקים שווה בקבוצות. כמה קבוצות וכמה נבדקים סה"כ ובכל קבוצה?
DFB = k−1 = 4 → k=5 קבוצות. DFW = N−k = N−5 = 40 → N=45. בכל קבוצה: 45/5 = 9 נבדקים.
🟣 תרגול 6.2 מתקיים/לא
תוצאת ANOVA מובהקת. נכון ש"קיים הבדל מובהק בין ממוצע כל קבוצה לכל קבוצה אחרת"?
לא מתקיים. תוצאה מובהקת מעידה רק שקיים הבדל אחד לפחות בין זוג קבוצות – לא בהכרח בין כולן. (מתקיים בוודאות: MSB>MSW, F>1, F מחושב>F קריטי.)
נספח א': טבלת עזר לניסוח השערות
▾דוגמה: נתון שממוצע האוכלוסייה μ₀ = 80 (תקף למבחן Z ו-t למדגם יחיד).
| סוג המבחן | השערת אפס H₀ | השערת מחקר H₁ | אזור דחייה |
|---|---|---|---|
| חד-צדדי ימני ("גבוה מ-") | μ₀ ≤ 80 | μ₁ > 80 | זנב ימני |
| דו-צדדי ("שונה מ-") | μ₀ = 80 | μ₁ ≠ 80 | שני הזנבות (α/2 בכל אחד) |
| חד-צדדי שמאלי ("נמוך מ-") | μ₀ ≥ 80 | μ₁ < 80 | זנב שמאלי |
🟠 לשני מדגמים / ANOVA
בהשוואה בין אוכלוסיות H₀ תמיד "אין הבדל" (ההפרש = 0). בקשר בין משתנים H₀ "אין קשר". ב-ANOVA H₀: כל הממוצעים שווים.
נספח ב': דף נוסחאות מרוכז
▾🔵 התפלגות הדגימה ו-Z
טעות תקן: e = σ / √n
Z (יחיד): Z = (X − μ)/σ
Z (ממוצע מדגם): Z = (X̄ − μ)/(σ/√n)
🔵 מבחן t למדגם יחיד
t = (X̄ − μ₀)/(Ŝ/√n) , df = n − 1
🔵 רווח סמך + מציאת n
רב"ס Z: X̄ ± Zα/2·(σ/√n)
רב"ס t: X̄ ± tα/2·(Ŝ/√n)
מציאת n: n ≥ (2·Zα/2·σ / L)²
🔵 t לשני מדגמים בלתי-תלויים
Ŝ²p = [Ŝ₁²(n₁−1)+Ŝ₂²(n₂−1)]/(n₁+n₂−2)
t = (X̄₁−X̄₂)/√(Ŝ²p(1/n₁+1/n₂)) , df = n₁+n₂−2
d (כהן) = (X̄₁−X̄₂)/√Ŝ²p
🔵 t לשני מדגמים תלויים
t = d̄/(Ŝd/√n) , df = n − 1
גולמי: t = Σdᵢ / √([n·Σdᵢ² − (Σdᵢ)²]/(n−1))
🔵 ANOVA
SSB = Σnⱼ(X̄ⱼ−X̿)² ; DFB = k−1 ; MSB = SSB/DFB
SSW = Σ(Xᵢⱼ−X̄ⱼ)² ; DFW = N−k ; MSW = SSW/DFW
SST = SSB+SSW ; DFT = N−1 ; F = MSB/MSW
נספח ג': איך קוראים את טבלאות Z, t, F
▾טבלת Z
- בשוליים מאתרים את ערך ה-Z, ובתוך הטבלה מקבלים את השטח המצטבר (ההסתברות עד אותו Z).
- לזנב הימני (שטח מעל): מחשבים 1 − השטח המצטבר. דוגמה: Z=2.17 → מצטבר 0.9850 → מעל = 0.015.
- ערכים קריטיים נפוצים: 1.645 (5% חד), 1.96 (5% דו), 2.33 (1% חד), 2.58 (1% דו).
טבלת t
- נכנסים לפי דרגות החופש (df) בשורה, ולפי רמת המובהקות והכיוון (חד/דו-זנבי) בעמודה.
- ככל ש-df גדל הערך קטן ומתקרב ל-Z; מ-df≈120 הם שווים.
- בדו-זנבי משתמשים ב-α/2 בכל עמודה.
טבלת F
- שתי דרגות חופש: dfB = מונה (בראש העמודות), dfW = מכנה (בשורות).
- בוחרים את הטבלה/שורה לפי רמת המובהקות (יש טבלה נפרדת ל-5% ול-1%).
- דוגמה: F(3,16) ב-5% → ערך קריטי 3.24. F(2,3) ב-1% → 30.82.
🔴 שים לבF תמיד חד-זנבי (ימני) – אין F שלילי. ב-ANOVA אין "כיוון" השערה.
טבלאות השוואה מסכמות – "מתי כל מבחן?"
▾| המבחן | מתי משתמשים | דרגות חופש |
|---|---|---|
| Z – מדגם יחיד | השוואת ממוצע מדגם ל-μ ידוע, כש-σ ידועה | אין (נורמלית) |
| t – מדגם יחיד | כמו Z, אבל σ אינה ידועה | n − 1 |
| t – שני מדגמים ב"ת | הבדל בין 2 קבוצות נפרדות (משתנה בת"ל דיכוטומי, תלוי כמותי) | n₁ + n₂ − 2 |
| t – שני מדגמים תלויים | 2 מדידות מזווגות (לפני/אחרי, זוגות) | n − 1 |
| ANOVA חד-כיווני | הבדל בין ≥3 קבוצות (בת"ל קטגוריאלי, תלוי כמותי) | dfB=k−1 ; dfW=N−k |
| מבחן Z | מבחן t | |
|---|---|---|
| שונות אוכלוסייה | ידועה | לא ידועה (אומדים ב-Ŝ²) |
| אומדן של | הממוצע בלבד | ממוצע + שונות |
| התפלגות | נורמלית אחת | משפחת התפלגויות (לפי df) |
| ערך קריטי (n<120) | קטן יותר (מקל) | גדול יותר (מחמיר) |
| ב-n≥120 | הערכים הקריטיים זהים | |
| Between (MSB) | Within (MSW) | |
|---|---|---|
| מה מודדת | שונות מוסברת (האפקט) | שונות לא-מוסברת (טעות/רעש) |
| מיקום ב-F | מונה | מכנה |
| df | k − 1 | N − k |
🟠 דקה אחרונה לפני המבחן
- זהה: σ ידועה? (Z/t) · כמה קבוצות? (1 / 2 / ≥3) · תלויות או לא?
- נסח השערות לפי כיוון (חד/דו-זנבי) – זה קובע את הערך הקריטי.
- חשב סטטיסטי מחושב, שלוף ערך קריטי לפי df ו-α.
- הכרעה: |מחושב| > |קריטי| → דחה H₀. בחר מסיח שמדבר על האוכלוסייה ב"שפת תמיכה" (פסול כל מסיח עם "הוכיח/בוודאות").
- זכור: מובהקות ≠ גודל אפקט · המסקנה על האוכלוסייה · אי-דחייה ≠ הוכחת H₀.